《思考的框架》系列书共有3本，第三本里主要讲述了系统和数学中的一些概念，这里是数学部分的一些概念。
复利效应
复利遵循幂律，而幂律的力量非常惊人。知识、经验、人际关系，都有复利效应。
据说爱因斯坦称复利是“世界第八大奇迹”。不管是不是他说的，复利的力量都很惊人。 纳瓦尔说过：“培养迭代思维。生活中的所有回报，无论是财富、人际关系，还是知识，都源于复利。” 老喻有一篇文章，认真拆解了复利公式：
$$ FV = PV (1+i)^n $$复利的关键是再投资——不断把时间、经验、学习投入到系统中。
财富可以复利增长，但债务也有复利特性，债务的复利会摧毁你的财富。
一、知识复利
犹太教育体系是关于知识复利的经典范例。孩子 从六七岁就开始学习，短期内看不出任何回报，但十几年后，他们会从事高收入的职业，知识让他们进入上层社会。
二、经验复利
很多职业都是经验复利，经验越多越值钱。
◇ 医生看得病越多，经验越丰富。 ◇ 高级程序员在编码过程中，不断积累算法库。 ◇ 教师通过多次讲课，根据学生反馈不断优化课件和教学方法。 ◇ 律师处理的案件越多，对法律细节的把握越精准。 ◇ 投资者经历的市场周期越多，对风险和机会的判断越敏锐。
这里的经验积累，不是把一件事简单重复几十次，而是不断迭代、优化，经过数十年的积累，就有了优势。
三、人际关系复利
人际关系也有复利效应。朋友很多的人，结交的朋友也会越来越多。如果我们持续投资于互利共赢，关系就会随着时间的推移越发牢固。
沃伦·巴菲特和查理·芒格合作几十年，两人理念相近、互相尊重、彼此成就。
复利的本质，是时间的回报。短期内看不到什么变化，但坚持足够久，差距就会越来越大。读书、写作、编程、锻炼、投资，一切皆定投，笃信复利的到来。
抽样
当我们想了解一个总体（指一组相似的人、物或事件）的信息时，通常不会、也无法研究其中的每一个个体。于是我们选择一部分——样本，通过样本去推断总体特征，这就是「抽样」。
抽样的意义在于：在有限的观察中寻找关于整体的线索。
一、样本容量与大数定律
样本容量：从一个总体中抽取的人、物或事件的数量。例如：中国有14亿人口，如果从中选出1万人，这1万人就是样本容量。
大数定律：当样本量足够大时，样本的平均值会越来越接近总体的真实平均值。
例如：抛10次硬币，出现超过7次正面并不奇怪，但当抛1万次硬币，如果出现6000次正面，就不太正常了。
大数定律说明：样本量越大，结果越接近真实。但“越多越好”并不现实，时间和资金有限，我们只能选择一个“足够大且合理”的样本。
保险公司不会调查每个司机的事故记录，而是挑一些有代表性的样本，比如不同城市、年龄、车型的事故情况，通过这些样本来制定合理的保费。
二、样本要随机，不能只图方便
很多调查只取“方便得到的数据”，结果往往失真。
比如，你只调查家门口池塘里的天鹅，就可能永远看不到黑天鹅。
同样地，如果你在朋友圈或公众号发问卷，回答的人多半和你兴趣、观念相似，这样的样本缺乏随机性，得到的结果也无法代表更广泛的大众。
三、识别幸存者偏差
幸存者偏差是指：我们只看到“活下来的”或“成功的”，却忽略了那些失败或消失的，从而得出片面的结论。
◇ 炒股：我们经常看到某篇报道说有人炒股赚大钱，但那些亏光本金、退出市场的人，并没有发出任何声音。
◇ 战机弹孔：研究返航飞机的弹孔位置，并不能找到真正的要害部位，因为被击中关键部位的飞机没能飞回来。
◇ 创业：媒体报道成功创业者的经验，容易让人以为只要努力就能成功，却忽略了大量失败的创业者。
四、抽样与多元思维
一个人的认知，也源自“抽样”。你读的书、接触的人、经历的事件，构成了你理解世界的样本空间。
样本越单一，世界就越狭窄；样本越偏，判断就越失真。
多去不同的地方，多听不同的意见，多经历不同的场景，相当于扩大认知样本。
当你的“认知样本”足够随机、足够多样，你看到的世界就更接近真实。
抽样不仅是统计学的方法，也是理解世界、校准判断的一种思维方式。
随机性
随机性是一个难以掌握的模型，因为人类大脑天生追求因果，总想为每件事找到理由，哪怕这些事情本来就是偶然发生的。
随机性是可预测性、秩序性的对立面。生活中很多事情纯属偶然，我们需要学会接受这种随机。
有些人官运亨通，或许是他待人真诚、处事圆滑，也或许只是碰巧赶上了提拔年轻干部的政策节点，也或许是其他几个候选被提拔者争得太厉害都失去了机会。
有人买了一套房，原本只是刚需，却恰好赶上房价上涨的周期；有人手里有笔闲钱，就到股市里玩玩，恰好在熊市底部进场，几年后被称为“有远见的投资者”。表面看似理性判断，背后也可能只是随机的幸运。
随机性是宇宙的根本属性，宇宙的演化遵循熵增定律——世界总是向混乱的方向发展。而人类的使命，某种意义上，就是在这无序之中建立一点点秩序：我们制定规则、构建模型、发明语言、建造城市。
🎲小说创作的随机性
小说家的创作过程，也充满随机性。有时剧情陷入停滞，思绪枯竭，作家会走进生活去寻找灵感。偶然看到的一幕街景、听到的一句闲谈，可能让故事重新活过来。
🎲伪随机性
在我们以为的“随机”中，往往有着倾向性：
- 当让人随口说一个数字时，大多数人选7；
- 随口说一种花，多数人说玫瑰；
- 说一种颜色，多半是蓝色；
- 说一件家具，十有八九是椅子。
心理学称之为“伪随机性”——人们以为自己自由选择，但思维路径早被习惯塑造。
魔术中的“读心术”正是利用了这种偏好。
加拿大某个地区的古老猎人，会通过一种占卜仪式来决定狩猎路线：他们将驯鹿的肩骨放在炭火上烘烤，等到骨头表面布满裂纹，再根据裂纹的形状当作狩猎的地图。他们的这种仪式正好可以避免驯鹿掌握人类的狩猎路线。
而计算机程序里也有一种“伪随机数”生成算法，通过乘法、取模等制造出近似随机的序列。加密钱包为了更高的安全性，在生成密钥时，要求用户随意移动鼠标，来增加一些随机因素。
🎲投资的随机性
在投资领域，随机性几乎无处不在。《随机漫步的傻瓜》中指出：人们往往把运气误认成能力，把短期的成功当作必然的结果。真正理性的投资者，不是预测未来，而是接受随机，用概率思维管理不确定。
随机性提醒我们： 不是所有结果都有原因，不是所有变化都能解释。世界的复杂部分，恰恰源于那些无法预测的随机。理解它，不是要控制它，而是要与它共处。不可预测或意想不到的事物也有其价值。
均值回归
【均值回归】是一个统计学概念，指的是在时间序列数据中，极端高或极端低的数值在未来往往会向其长期历史平均值靠拢的趋势。
学生备考
一名高中生的学习能力与知识储备，通常会形成一个相对稳定的“真实水平”，这便是他成绩的“均值”。学校组织的多次模拟考试，正是用于评估这一均值范围。
如果某次考试他状态极佳，从平时年级前30%跃居至前5%，不必过度欣喜。这当中可能包含题目正好都复习过或临场运气等偶然因素，后续成绩很大概率会回落，逐渐回归至其真实水平附近。
反之，若某次发挥明显失常，也无需沮丧。只要学习状态未受根本影响，后续成绩自然会有所回升，重新向均值靠拢。
需要注意的是，均值本身并非固定不变。通过持续努力、查漏补缺，学生能够逐步提升自己的真实水平，从而在最终的高考中实现更优表现。
篮球运动员
在篮球比赛中，一名职业生涯命中率为45%的射手，其单场表现总会围绕这个均值波动：既有手感火热、命中率超60%的夜晚，也会有手感冰凉、命中率仅30%的时刻。这正是“均值回归”的体现——极端表现后，其数据会自然地向长期平均值靠拢。
而持续的训练，正是为了将这个“均值”从45%推向更高，从而提升整体表现的基准线。
股票市场的市盈率（P/E Ratio）
一家公司的股票可能会因为市场狂热、利好消息而被过度追捧，导致其市盈率远高于行业或历史平均水平。反之，在市场恐慌时，其市盈率可能会被压到极低的水平。
不管过高还是过低，长期来看，该公司的市盈率会向历史均值靠拢。
这一机制正是“在别人贪婪时恐惧，在别人恐惧时贪婪”的底层逻辑，提醒投资者关注企业的内在价值，而非被短期市场波动左右判断。
均值回归不仅是统计规律，更是一种理解世界运行底层的哲学视角。任何复杂系统——无论是市场、个人表现还是自然现象——其短期波动终将收敛于其内在的均值。
理解极端值终将回归的必然性，从而在顺境时保持谦卑，在逆境时保持信心。我们可以做的是通过持续学习来提升自己的“能力基线”。
乘以0——识别并防范系统性归零风险
72673459417881349 * 0 = 0
这个算式连小学生都懂，前面的数字再大，乘以零，结果还是零。
它给我们几点启发： （1）一个简单的“0”因子就足以让所有努力付诸东流。 （2）这些“归零”事件破坏性极大，一旦发生往往无法挽回。 （3）如果你忽略“0”的存在，那么再优化其他部分（那些大于1的乘数）都毫无意义。
任何复杂系统中，都可能存在关键弱点。一旦这些弱点被触发，无论其他部分多么优秀，整个系统的成果都可能瞬间归零。
这个思维模型的价值在于：如何定位系统中的“0”、如何避免引入“0”，以及如何改造已有的“0”。
这个模型的几个应用：
（1）在加密货币领域，不学习加密钱包安全知识，不采用冷钱包等安全存储方式，将资产置于热钱包或交易所，一旦遭遇黑客攻击或平台跑路，资产一夜归零。
（2）将全部资金押注在一支股票上，一旦该公司出现重大负面问题或被退市，将造成毁灭性打击。 “不把鸡蛋放在一个篮子里”正是为了规避这类风险。
（3）使用极高杠杆进行合约交易，即使市场只有小幅逆向波动，也可能导致爆仓，损失全部本金。
（4）一家餐厅，环境富丽堂皇、服务一流，但使用预制菜或过期食材，一旦被发现，餐厅将无人光顾。
（5）公司在经营中，涉足灰色地带，财务造假，偷税漏税，一旦被发现将面临重罚，多年基业毁于一旦。
（6）公司高管学历造假，会导致职业生涯的终结。
（7）企业建立了强大的数据中心，但没有异地备份机制，一旦遭遇重大事故，所有数据可能永久丢失，业务停摆。
（8）个人在工作10年、20年的资料，全部放在一个U盘中，一旦遗失或损坏，全部数据将无法找回。
（9）一个人事业再成功、钱再多，如果完全忽视健康，到行走都困难时，所有成就也将失去意义。
（10）公职人员酒后驾驶，一次行为就会被公司辞退，或被拘留，甚至失去生命。
等价
等价，不是要求两个事物完全相同，而是在某个规则或关系的约束下，两者的性质相同，都可以称为等价。
数学里的等价： ①模k同余的数：a ≡ b (mod k) ②代数表达式等价：a²−b² ≡ (a+b)(a-b) ③逻辑等价：true, 1==1, 600>1 ④图的同构：正方形、菱形 ⑤拓扑等价：形状可连续变形为另一形状，如：圆与椭圆。 ⑥无穷小量等价：sinx∼x， e^x-1∼x ⑦特征值相等的矩阵 ⑧相同的概率分布：掷一颗六面骰子，从1–6中抽签
**⚖️历史总会重演 ** 历史总会重演，其实也是一种等价。事情的外表在变，背后的规律没变。
2025/10/11加密货币市场的极端行情也是这样，短短几小时的暴涨暴跌，这样的事情历史上已经发生过多次，有人爆仓，有人则抓住难得的机会。
王朝更替、企业起落、市场波动，本质都一样。知道历史会重演，就需要培养足够的耐心，在重复的模式里寻找规律，去捕捉机会。
⚖️多元解决方案
在现实中，我们常常陷入“只有一个正确答案”的思维陷阱。
某个项目出了问题，我们一直会想着在原方案上不断修补，没想想是不是可以换种思路，也能达到同样的目标？
解数学题的时候，可以用代数法、图像法、解析几何法，方法虽不同，但能够解决问题就行。
等价并不意味着相同。不同的输入可以产生完全相同的结果，而且解决大多数问题的方法不止一种。使用等价作为视角可以帮助我们认识解决方案的丰富性。
数量级
数量级是一种符号形式，用来简洁地表示大数或小数。
宇宙里各个物体的大小或距离等，可以看出这种数量级的变化，也可以感受到我们的渺小。
- 原子核大小： 10^-15 m
- 细胞大小： 10^-6 m，微米
- 沙粒大小： 10^-3 m，毫米
- 人体身高：1 m
- 山峰高度：10^3 m
- 地球直径： 10^7 m
- 太阳系范围： 10^13 m
- 银河系直径： 10^21 m，10万光年
里氏震级是一个对数刻度，震级相差 1 级 ，地震波振幅相差 10 倍， 释放的能量大约相差 32 倍。
- 2级 —— 人工地震（勘探用炸药激发）
- 3.5–4级 —— 平常可感觉到的轻微地震。
- 6级 —— 广岛原子弹爆炸（能量当量换算）
- 7.8级 —— 唐山大地震（1976年）
- 8.0级 —— 汶川大地震（2008年）
计算机的信息量：
- 1字节（1B）：一个英文字符
- 10^3 字节 (1KB)：一张小图片
- 10^6 字节 (1MB)：一首歌曲
- 10^9 字节 (1GB)：一部电影
- 10^12 字节 (1TB)：一块硬盘
- 10^15 字节 (1PB)：数据中心的存储量
时间的数量级：
- 纳秒 (10^-9 秒)：CPU 时钟周期。
- 微秒 (10^-6 秒)：数码相机快门。
- 毫秒 (10^-3 秒)：昆虫扇一次翅膀。
- 1 秒：心跳一次。
- 1 分钟 ：刷牙、泡茶的时间。
- 1 小时 ：一节课。
- 1 天/1周/1月/1年：这些太常见。
- 10^2 年（百年）：一个历史朝代。
- 10^6 年（百万年）：地质年代。
- 10^9 年（十亿年）：恒星的寿命。
表面积
我们可以把“表面积”看作一个物体与外界接触、交换、反应的界面。它不仅是一个几何概念，也是一种思维模型。
一勺砂糖比一块方糖溶解得更快，因为砂糖与液体的接触面更大。同样，化学反应中，反应物的表面积越大，反应速度越快，我们理解许多小树枝比一根粗木头更容易点燃。
自然界非常懂得利用表面积。人类的肺和肠都有巨大的内壁褶皱，用以增加对氧气和营养物质的吸收。生活在寒冷地区的动物，比如企鹅或北极熊，身体更加圆润，表面积与体积的比例更小，以此减少热量散失。
增大接触面，有时是机会；缩小接触面，有时是保护。表面积太大，意味着更多的交换与风险。想保护自己时，适度减少表面积，是一个好策略。
在软件世界中，如果一个模块与其他模块的依赖太多，它的“接口表面积”就大，意味着更多的潜在错误点，也更难维护。减少依赖，可以让系统更稳定、更容易维护。
马戏团的转型是另一个有趣的例子。过去的马戏团封闭运行，演员多由家族培养，节目长期单一。现在，他们通过与科技、音乐、灯光、甚至虚拟现实结合，创造出新的体验形式。例如“太阳马戏团”在表演中融入全息影像、空中装置、剧情叙事，把艺术的“表面积”拓展到更多维度，也获得了新的生命力。
军事上，游击战的精髓在于“缩小表面积”。游击队没有固定基地，不建立庞大的后勤系统，以此减少被发现和攻击的机会。他们的力量在于灵活机动，尽量让自己“可被打击的表面积”最小化。
网络安全也是如此。每增加一个接入点、一个端口、一个外部服务，系统的“被攻击表面积”就扩大一分。减少暴露面，就是降低潜在的攻击入口。把表面积控制在必要范围内，是安全防御的第一步。
表面积模型告诉我们： 何时该增加接触，何时该保持距离。 在学习与创新中，扩大表面积有助于吸收新知识、建立连接； 在风险与防御中，缩小表面积能减少损失、保持稳定。
全局最大值与局部最大值
在数学中，函数的最值是它在定义域内所能达到的最高点。最高的那个叫「全局最大值」，而在某个范围内最高但未必是全局最高的点，就叫「局部最大值」。
这个模型不仅属于数学，还在生活的其它地方有启发：
不要被眼前的小高峰迷惑，也不要害怕短暂的下坡。有时，要想攀上更高的山，就必须先下到谷底。
一、运动员的“平台期”
在训练中，运动员常常有这样的经历：成绩不断提升后，突然进入停滞期——无论怎么练，成绩都难再进。这其实就是达到了一个「局部最大值」。
要想再上一个台阶，就必须改变训练方式，比如从力量型转向速度与协调，彻底忘掉以前不太规范的动作，甚至换一只手练习。这个过程往往伴随着短暂退步：成绩下降、身体不适应、信心动摇。
但只有突破原有模式，才能越过平台，抵达新的高峰。每一个新纪录，几乎都来自对旧规律的打破。
二、软件开发：从优化到重构
软件开发过程中，新功能不断被开发出来，能够满足用户的一些需求，但在某个方面总是不尽人意，不断的修修补补变得越来越麻烦，这就需要重构。
我在开发《物探智图》的过程中，也有类似情况。物探智图APP主要用于现场作业管理。用户可在地图上新增点、线、面标记，可以记录航迹，消息通信，可以完成任务，在各种业务数据上附加照片。PC端主要负责项目配置、数据可视化、任务分发和数据管理。
经过2年多的开发，功能越来越丰富，可以满足用户的很多需求，但在遇到离线问题时，数据的同步出现比较多的麻烦。
于是我们选择重构架构，甚至推翻部分设计逻辑，将炮检点、标记、照片、人员、装备、任务等，都看为一种智图对象，进行统一的离线业务数据设计，这个时候系统研发进度变慢，但系统发布后，变得更为稳定、易于扩展。
我们不改说到达了「全局最大值」，但可以说从一个「局部最大值」到达了另外一个「局部最大值」。
全局最大值与局部最大值告诉我们两件事： 第一，眼前的最优不一定是最优； 第二，短暂的变差，是更高提升的前奏。
成长的过程不是线性上升，而是一条充满高峰与低谷的曲线。理解这个模型，就能在“下坡”时保持冷静，知道那并不是失败，而是为了攀上更高的山峰。